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2007年1月18日 (木)

Monty Hall Problem

20070117_1 一昨日の朝から週1回、確率と統計の授業が始まった。MITの大学1回生の授業と同じ内容だからなのか、初回だからなのかわからないけれども、高校で習う程度の内容だったので頭の体操と言ったところだった。質問もあまりでなかったし、自分のPCの画面に集中している人も多かった気がする(苦笑)。

かといって、確率論が退屈かというとそんなことは全くなくて、我々の感覚とは違った事実を教えてくれることもあるのだ。実際例題の時だけは質問が頻出したのでその例題二つを紹介しよう。

高校で確率を習った人なら、
「誰か2人が同じ誕生日である確率が5割を超えるのは、何人以上のクラスか」
と言う問題は聞いたことがあるんじゃないかと思う。
1年は365日も有るんだから、一つの教室に入れる人数では無理なんじゃないかと思うかもしれないけれども、実際は23人だ。計算は省くけれども、50人もいれば軽く90%を超える。

もう一つ、今日の授業で初めて聞いた例は「モンティ・ホール問題」。これはアメリカのTVバラエティ”Deal or Not Deal”の司会者Monty Hall氏に由来するとのことだが、内容はこうだ。

  • あなたの目の前にはドアが3つあって選んだドアの向こうにある物が手に入る。
  • ドアの向こうにある物は、1つが高級車、2つが山羊(つまりハズレ)。

こういう状況でゲームは始まる。

  1. まずあなたは1つのドアを選ぶ。まだ開けてはいけない。
  2. 次に答えを知っているモンティが、あなたが選んでいないドア2つの内から、山羊のいるドアを1つ開けてくれる(この時点で、あなたが選んだドアか、残りの1つのドアか、どちらかのドアの後ろに高級車がある)
  3. 最後にあなたは最初に選んだドアを開けるか、考えを変えて残りのドアを開けるか選ぶことができる。

さぁ、あなたは開けるドアを変えますか?"Deal? or Not Deal?"
もちろんドアの向こうの音に聞き耳を立ててから選ぶ、なんてのはナシです。

この話が有名になったのは、1990年に、どうするのが良いか解説した番組に対して数学者100人を含む1万人もの人から「解説は間違っている!」という間違った投書が殺到したことによるらしい。

答えは2日後、この記事のコメント欄で。

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コメント

なるほどね~

それではモンティ・ホール問題の回答です。

答えは「開けるドアを変える方が良い」です。

ポイントはモンティが答えを知っていながら山羊のいる扉を一つ開けてくれる点に有ります。
確率的には誰でもわかるとおり、最初は全ての扉が1/3です。
なので、あなたが最初に選んだ扉の向こうに高級車が有る確率は1/3、残りの扉2つのうちどちらかに有る確率が2/3となります。そしてモンティは2/3の扉のうち、山羊がいる扉を1つ教えてくれるのですから、最後に残った扉の向こうに高級車がある確率は2/3のままなのです。
なので、自分の運と感に自信満々な人を除いては扉を変える方が高級車を手に入れられる確率は2倍になるのです。

感覚的にわかりやすくするために問題を変えて、扉が100枚あったとしましょう。
あなたが1枚選び、残りの99枚のうち、モンティが1枚を残して98枚をハズレだと教えてくれたら、あなたは最初に選んだ扉と最後に残った扉と、どちらを選びますか?
つまりあなたが1/100の確率で選んだ1枚の扉と、99枚の扉、どちらの中に当たりの扉が有る可能性が高いかということになりますので簡単ですね。

>いまさん
というわけで、結果は合ってましたね(笑)
ちなみに同じ誕生日問題は、考え方は合ってると思います。式を打ち間違ったんだと思いますが・・・

  x人の誕生日の組み合わせ=365^x (365のx乗)
  x人の誕生日が異なる組み合わせ=365*364*363*362・・・(365-x+1)
よって少なくとも誰か2人が一緒の誕生日である確率は、全員の誕生日が異なる確率を全体から引いた値ですので
  1-(365*364*363*362・・・(365-x+1))/365^x
となります。
・・・・電卓では計算したくないですねぇ

x人で5割を超えるとして、対偶で考えて以下でいいのかな~。解いてないので違うかも(^_^;)

1-{365/365×364/365×363/365×・・・・365-(x-1)}> 0.5

扉は確率的にはうつった方がいいかと思います。1/3が1/2に変わるので。

答え楽しみにしています

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